컴퓨터에서 정수 표현 법

차례.
   -보수 설명 
   -보수만들기
   -왜 보수 사용하나
   -컴퓨터에서 정수 표현법
   -2 의 보수 사용하는 이유

(1) 보수 설명

n 진법에는 n 의 보수와 n-1 의 보수가 있다.

• 10 진법에는 9 의 보수와 10 의 보수가 있고 ,
• 16 진법에는 15 의보수와 16 의 보수가 있다.
• 2 진법에는 1 의보수와 2 의 보수가 있다.

(2) 보수 만들기

먼저 익숙한 10 진수에서 9 의 보수와 10 의 보수에 대해서 알아보자. (이진수에서도 개념은 동일하다)

(보기) 10 진수 35 의 9 의보수와 10 의 보수는?

(풀이) 10 진수에서 9 의 보수는 9 에서 각 자리를 뺀 값이 9 의 보수가 된다.

• 9 - 3 = 6
• 9 - 5 = 4

35 의 9 의 보수는 64 이다.

n-1 보수에서 n 보수로 바꿀 때는 n-1 보수에서 1 을 더하면 n 보수가 된다. 그러므로 35 의 10 의 보수는 64 에서 1 을 더한 65 가 된다.#

(보기) 2 진수 101 의 1 의보수와 2 의보수는?

(풀이)

1 의 보수는 1 을 각 자리에서 빼면 1 의 보수이다.

• 1-1=0
• 1-0=1
• 1-1=0

101 의 1 의 보수는 010 이다. 2 의 보수는 이 수에서 1 을 더한하 011 이 2 의 보수이다. #

정리하면 , n 진법에서는 n-1 의 보수 , n 의 보수가 존재한다. n-1 의 보수를 구할 때는 n-1 을 각 자리에서 빼면 구할 수 있고, 이 수에 1 을 더하면 n 의 보수가 된다.

(3) 왜 보수를 사용하나?

컴퓨터는 뺄셈도 덧셈으로 답을 구한다. 어떻게 뺄셈을 덧셈으로 답을 구할 수 있는지는 보수의 성질을 이용한다는 것이다.

우리에게 익숙한 10 진수로 감산을 어떻게 가산처럼 행하는지를 알아보자.

(보기) 아래 식은 답이 54 이다. 보수를 이용하여 어떻게 54 를 구하는지를 알아보자.

  83
- 29
-----

(설명) 양수의 보수는 수 그대로이고 , 음수의 보수는 전에 배운 대로 구한다는것이다.

1. 9 의 보수를 사용하는 경우

   먼저 두 수의 9 의보수를 구한다.

   • 83 의 9 의 보수는 83
   • -29 의 9 의 보수는 70

   두수를 더하면

   

   밖으로 나가는 올림수(carry)가 발생했다. 이 캐리를 end-around carry 라 하고 9 의 보수에서는 이 캐리가 발생하면 다시 더 해야 한다.

   

2. 10 의 보수를 사용하는 경우

   먼저 두 수의 10 의보수를 구한다.

   • 양수 83 의 10 의 보수는 83
   • 음수 29 의 10 의 보수는 71

   두 수를 더하면,

   10 의 보수에서는 end-around carry 를 무시한다.

(4) 컴퓨터에서 정수 표현법

정수를 표현하는 방법은 3 가지

• 부호화 절대치
• 1 의 보수
• 2 의 보수

설명의 편의를 위해 4 비트로 정수를 표현한다고 가정하자.

• 첫 비트는 부호를 표현한다. 0 은 양수 1 은 음수로 약속
• 나머지 3 비트로 수를 표현한다.

부호화 절대치 방법은 수를 나타내는 자리에 10 진수를 2 진수로 바꾸어 나타내고, 음수이면 첫 비트를 1 , 양수이면 0 로 나타내는 방법이고 ,

1 의 보수 방법 은 구한 부호화 절대치에서 부호 비트가 1 즉 음수인 경우 수 비트를 1 이면 0 으로, 0 이면 1 로 반전(1 을 각자리에서 빼는 것과 동일)하여 나타내는 방법이고

2 의 보수 방법 은 첫 비트가 1 인 음수인 경우 1 의 보수 방법으로 구한 수에 1 을 더하는 방법이다.

(보기) -3 의 부호화 절대치 , 1 의보수 , 2의보수로 표현하면?

(풀이) 기억해야 할 것은 첫 비트 즉 부호 비트는 변하지 않는다는 것이다.

#

정리해보면, 어떤 수를 2 의 보수과정으로 바꿀 때

10 진수를 부호화 절대치로 바꾸고 --> 이를 1 의 보수로 바꾸고 --> 구한 수에서 1 을 더해서 2 의 보수

과정을 거쳐서 구할 수 있다.

문제의 핵심

부호화 절대치에서 1의 보수를 거치지 않고 바로 2 의 보수를 구하는 방법은 부호화 절대치에서 오른쪽에서 왼쪽으로 오다 만다는 첫 비트가 1 일 때 까지 그대로 나머지는 반전(부호 비트 제외) 시키면 구할 수 있다.

이 부분을 이해하면 이 문제에 대한 답이다.

(5) 2 의 보수를 사용하는 이유

2 의 보수를 사용하는 장점으로는

1. 단 하나의 0 이 존재한다.
   1 의 보수와 부호화 절대치에서는 -0 이 존재한다. 이는 좋은 현상이 아니다.

   단 한 번의 덧셈으로 두 수를 더할 수 있다.

   1 의 보수에서 덧셈시 end-around carry 가 다시 더해야 하기에 두 번의 덧셈이 필요하지만 , 2 의 보수에서는 이 캐리를 무시하므로 단 한 번의 덧셈으로 연산이 가능하다.

   수의 표현 범위가 음수쪽으로 하나 많다.

   4 비트로 정수를 표현할 때 -8 을 부호화절대치 , 1 의 보수에서는 표현할 수가 없다. 4 비트로 정수를 표현할 때 -8 ~ 7 까지 표현가능하다.

   n 비트로 정수를 표현할 때

   • 부호화 절대치, 1 의 보수에서 수의 표현 범위는 -2^n-1+1 ~ 2^n-1-1
   • 2 의 보수에서는 -2^n-1 ~ 2 ^n-1-1

4 비트로 정수를 표현할 경우

10 진수	부호화 절대치	1 의 보수	2 의 보수
7	0111	0111	0111
6	0110	0110	0110
5	0101	0101	0101
4	0100	0100	0100
3	0011	0011	0011
2	0010	0010	0010
1	0001	0001	0001
0	0000	0000	0000
-0	1000	1111	x
-1	1001	1110	1111
-2	1010	1101	1110
-3	1011	1100	1101
-4	1100	1011	1100
-5	1101	1010	1011
-6	1110	1001	1010
-7	1111	1000	1001
-8	x	x	1000

이제 현재 정수를 표현하는 4 바이트로 확장을 하면

• 가장 큰수 : 0 1 1 1 1 .... 1 (16진수로 표현하면 7F FF FF FF ) 2^31 - 1
• 가장 작은수 : 1 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 (16 진수로 표현하면 80 00 00 00 ) - 2^31

(6)최대 혹은 최소값 구할 때 초기값 설정

int a;

a = 0x7FFFFFFF; // 가장 큰 수로 보초(sentinel)를 세울 때

int a;

a = 0x80000000; // 가장 작은 수로 보초(sentinel)를 세울 때

출처:dovelet